MAT01 Mathematische Grundlagen

Gegeben sind (unter anderem) die Gesamtkostenfunktion \(K(x)=0.06x^3-x^2+50x+400\) und die Preis-Absatz-Funktion \(p(x)=150-0.4x\). Man ermittle in Aufgabe 14) den Grenzstückgewinn für den Output 40 ME.

Problem einordnen

In dieser Aufgabe sollen wir die Grenzstückgewinn für den Output 40 ME berechnen. Gesucht wird folglich g'(40). Sie benötigen folgende Kenntnisse, um die Aufgabe lösen zu können:

• Berechnung einer Gewinn- und Stückgewinnfunktion: Tietze Kapitel 6.1.2.4
• Ganz allgemein die Ableitungsregeln: siehe Skript MAT01, Block I, LS 2, Seite 5-10

Formaler Lösungsweg

Um die Grenzstückgewinn für den Output von 40, also g'(40), zu bekommen, braucht es vier Schritte (i)-(iv) (Hinweis):

(i) Zuerst wird die Gewinnfunktion \(G(x)\) in Abhängigkeit der Menge x berechnet. (ii) Danach berechnen wir die Stückgewinnfunktion \(g(x)\). (iii) Danach können wir die Grenzstückgewinnfunktion herleiten \(g'(x)\). (iv) Zum Schluss evaluieren wir die Grenzstückgewinnfunktion an der Stelle x=40. und erhalten somit den Wert \(g'(40)\).

(i) Berechnung der Gewinnfunktion in Abhängigkeit der Menge, also \(G(x)\)

Der Gewinn hat zwei Bestandteile: Erlös und Kosten. Den Erlös bekommen wir, indem wir den Preis mit der Menge multiplizieren: \(E=p \cdot x\). Da der Gewinn in Abhängigkeit der Menge gefragt wird, ersetzen wir p in der Erlösfunktion mit der Preisabsatzfunktion \(p=150-0.4x\). Somit erhalten wir \(E(x)=p(x) \cdot x=(150-0.4x)x=150x-0.4x^2\) (das Vorgehen für die Berechnung des Erlöses ist analog zu Ansatz 1 in der kommentierten Lösung zu Aufgabe 10 in dieser Serie).

Die Kostenfunktion (welche nur von der Menge x abhängig ist) ist in der Aufgabenstellung vorgegeben: \(K(x)=0.06x^3-x^2+50x+400\). Die Gewinnfunktion, welche nichts anderes ist als Erlös minus Kosten, lautet somit in Abhängigkeit der Menge x: \(G(x)=E(x)-K(x)=150x-0.4x^2-(0.06x^3-x^2+50x+400)=150x-0.4x^2-0.06x^3+x^2-50x-400=100x+0.6x^2-0.06x^3-400\)

(ii) Berechnung der Stückgewinnfunktion, also \(g(x)\)

Die Stückgewinnfunktion erhalten wir nun, indem wir die Gewinnfunktion mit der Menge x dividieren: \(g(x)=G(x)/x=(100x+0.6x^2-0.06x^3-400)/x=100+0.6x-0.06x^2-400/x\)

(iii) Berechnung der Grenzstückgewinnfuntion, also \(g'(x)\)

Wir leiten die Funktion g(x) nach x ab und erhalten \(g'(x)=0.6-0.12x+400/(x^2)\)

(iv) Evaluieren der Grenzstückgewinnfunktion an der Stelle x=40

Wir setzen den Wert x=40 in die Grenzstückgewinnfunktion ein und erhalten somit den Wert \(g'(40)\): \(g'(40)=0.6-0.12 \cdot 40+400/(40^2)=-3.95\) (GE/ME)/ME

\(g(x)=G(x)/x=(100x+0.6x^2-0.06x^3-400)/x=100+0.6x-0.06x^2-400/x\)

\(g'(x)=0.6-0.12x+400/(x^2)\)

\(g'(40)=0.6-0.12 \cdot 40+400/(40^2)=-3.95\) (GE/ME)/ME